Modulo 10

República Bolivariana de Venezuela

ministerio de educación superior

Instituto Universitario Antonio José de Sucre

probabilidad concepto

introducción

     El concepto de probabilidad nace con el deseo del hombre de conocer con certeza los eventos futuros. Es por ello que el estudio de probabilidades surge como una herramienta utilizada por los nobles para ganar en los juegos y pasatiempos de la época. El desarrollo de estas herramientas fue asignado a los matemáticos de la corte.

Con el tiempo estas técnicas matemáticas se perfeccionaron y encontraron otros usos muy diferentes para la que fueron creadas. Actualmente se continúo con el estudio de nuevas metodologías que permitan maximizar el uso de la computación en el estudio de las probabilidades disminuyendo, de este modo, los márgenes de error en los cálculos.

probabilidad

    La probabilidad de un suceso es un número, comprendido entre 0 y 1, que indica las posibilidades que tiene de verificarse cuando se realiza un experimento aleatorio.

Ejemplos

    Si lanzamos una moneda no sabemos de antemano si saldrá cara o cruz.

    Si lanzamos un dado tampoco podemos determinar el resultado que vamos a obtener.

propiedades de la probabilidad

   La suma de las probabilidades de un suceso y su contrario vale 1, por tanto la probabilidad del suceso contrario es:

Probabilidad del suceso imposible es cero.

    La probabilidad de la unión de dos sucesos es la suma de sus probabilidades restándole la probabilidad de su intersección

   Si un suceso está incluido en otro, su probabilidad es menor o igual a la de éste

Si A₁, A₂, ..., A_k son incompatibles dos a dos entonces:

Si el espacio muestral E es finito y un suceso es S = {x₁, x₂, ..., x_n} entonces:

ejemplo la probabilidad de sacar par, al tirar un dado, es:

                     P(par) = P(2) + P(4) + P(6)

ejemplo N°2

    Un 15% de los pacientes atendidos en un hospital son hipertensos, un 10% son obesos y un 3% son hipertensos y obesos. ¿Qué probabilidad hay de que elegido un paciente al azar sea obeso o hipertenso?

A = {obeso} B = {hipertenso}

A Ç B = {hipertenso y obeso}

A È B = {obeso o hipertenso}

p(A) = 0,10; p(B) = 0,15; p(A Ç B) = 0,03

p(A È B) = 0,10 + 0,15 - 0,03 = 0,22

Probabilidad condicional

     es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P(A|B), y se lee «la probabilidad de A dado B».

    No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre A y B. A puede preceder en el tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir simultáneamente. A puede causar B, viceversa o pueden no tener relación causal. Las relaciones causales o temporales son nociones que no pertenecen al ámbito de la probabilidad. Pueden desempeñar un papel o no dependiendo de la interpretación que se le dé a los eventos.

    El condicionamiento de probabilidades puede lograrse aplicando el teorema de Bayes.
Ejemplo:
     se tira un dado y sabemos que la probabilidad de que salga un 2 es 1/6 (probabilidad a priori). Si incorporamos nueva información (por ejemplo, alguien nos dice que el resultado ha sido un número par) entonces la probabilidad de que el resultado sea el 2 ya no es 1/6.

Las probabilidades condicionadas se calculan aplicando la siguiente fórmula:

Donde:

P (B/A) es la probabilidad de que se de el suceso B condicionada a que se haya dado el suceso A.

P (B L A) es la probabilidad del suceso simultáneo de A y de B

P (A) es la probabilidad a priori del suceso A

Por lo tanto:

P (B L A) = 1/6

P (A) = 1/2

P (B/A) = (1/6) / (1/2) = 1/3

    Luego, la probabilidad de que salga el número 2, si ya sabemos que ha salido un número par, es de 1/3 (mayor que su probabilidad a priori de 1/6)

Teorema de Bayes

       El teorema de Bayes se utiliza para revisar probabilidades previamente calculadas cuando se posee nueva información. Desarrollado por el reverendo Thomas Bayes en el siglo XVII, el teorema de Bayes es una extensión de lo que ha aprendido hasta ahora acerca de la probabilidad condicional.

      Comúnmente se inicia un análisis de probabilidades con una asignación inicial, probabilidad a priori. Cuando se tiene alguna información adicional se procede a calcular las probabilidades revisadas o a posteriori. El teorema de Bayes permite calcular las probabilidades a posteriori y es:

ejemplo

La urna A contiene 4 bolitas blancas y 3 rojas y la urna B contiene 2 bolitas blancas y 3 rojas. Se saca una bolita de la urna  A y se coloca en B, en seguida se sacan  2 bolitas de la  urna  B.  Dado  que  las  dos  bolitas  extraídas  de  B resultaron  ser   blancas    ¿Cuál es la probabilidad de que la  bolita extraída de A también  haya  sido  blanca?

Ejemplos de probabilidad total y teorema de Bayes

Tabla de contingencia
    En estadística las tablas de contingencia se emplean para registrar y analizar la relación entre dos o más variables, habitualmente de naturaleza cualitativa (nominales u ordinales).
      Supóngase que se dispone de dos variables, la primera el sexo (hombre o mujer) y la segunda recoge si el individuo es zurdo o diestro. Se ha observado esta pareja de variables en una muestra aleatoria de 100 individuos. Se puede emplear una tabla de contingencia para expresar la relación entre estas dos variables:

Diestro	Zurdo	TOTAL
Hombre	43	9	52
Mujer	44	4	48
TOTAL	87	13	100

      Las cifras en la columna de la derecha y en la fila inferior reciben el nombre de frecuencias marginales y la cifra situada en la esquina inferior derecha es el gran total.
Ejemplo
     Se sortea un viaje a Roma entre los 120 mejores clientes de una agencia de automóviles. De ellos, 65 son mujeres, 80 están casados y 45 son mujeres casadas. Se pide:

1. ¿Cuál será la probabilidad de que le toque el viaje a un hombre soltero?
2. Si del afortunado se sabe que es casado, ¿cuál será la probabilidad de que sea una mujer?

   función de probabilidad (también denominada función de masa de probabilidad) es una función que asocia a cada punto de su espacio muestralX la probabilidad de que ésta lo asuma.

conclusión

podemos concluir que la estadística es una rama de la matemática que está no se encuentra muy visible en lo cotidiano pero que en realidad es de mucha utilidad para interpretar y ver desde un punto de vista muy general datos que se obtienen. A través de sus gráficas, medidas de tendencia central y de dispersión podemos ver mas claro y concreto un conjunto de datos que se nos hacen muy complicados, en resumen son un verdadero método de ayuda para informar.Mientras que la probabilidad constituye un importante parámetro en la determinación de las diversas casualidades obtenidas tras una serie de eventos esperados dentro de un rango estadístico. Por lo tanto nos permite realizar estudios reales, con poblaciones exactas; lo cual nos ayuda a mejorar nuestros proyectos.

Modulo 6

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Medidas de dispercion; rango, desviación media, varianza y desviación estándar

introducción

Las Medidas de Dispersión nos resumen la información de la “muestra” o serie de datos, dándonos así información acerca de la magnitud del alejamiento de la distribución de datos en relación a un valor central o de concentración de los datos. las Medidas de Dispersión, que no son otra cosa que indicadores de variabilidad y cuya importancia reside en la necesidad de tomar decisiones, basadas en estadísticas básicas. Rango      En estadística descriptiva se denomina rango estadístico (R) o recorrido estadístico al intervalo a la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo; por ello, comparte unidades con los datos. Permite obtener una idea de la dispersión de los datos, cuanto mayor es el rango, más dispersos están los datos de un conjunto. EJEMPLO      Para una muestra (0, 45, 50, 55, 100), el dato menor es 0 y el dato mayor es 100 (Valor unitario inmediatamente posterior al dato mayor menos el dato menor). Sus valores se encuentran en un rango de: Rango = (100-0) =100  Desviación media   La desviación respecto a la media es la diferencia entre cada valor de la variable estadística y la media aritmética. ejemplo Calcular la desviación media de la distribución: 9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18 La varianza      es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media de una distribución estadística ejemploCalcular la varianza de la distribución: 9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18 Desviación estándar     La desviación estándar o desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.    Es decir, la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de desviación.La desviación estándar se representa por σ. ejemplo Calcular la desviación estándar de la distribución: 9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18 conclusión      Nos permiten tener una visión del comportamiento de una serie de sucesos o eventos a los que denominamos variables, así tenemos varias herramientas estadísticas como lo son la media, la mediana y la moda, pero estas medidas no son suficientes ya que necesitamos conocer la variabilidad de los datos y para entonces estudiamos lo que se denominan medidas de dispersión aquella que se basa en los indicadores de variabilidad, cuya importancia reside en la necesidad de tomar decisiones basadas en las estadísticas básicas.

Modulo 5

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Medidas de posición no centrales: centrales cuartiles deciles y percentiles

Introducción

   Las medidas de posición nos facilitan información sobre la serie de datos que estamos analizando.  La descripción de un conjunto de datos, incluye como un elemento de importancia la ubicación de éstos dentro de un contexto de valores posibles.

     Considerando Las medidas de dispersión (desviación media, varianza, desviación estándar, rango, amplitud intercuartílica, desviación cuartílica y la amplitud cuartílica) son todas medidas de variación absolutas. Una medida de dispersión relativa de los datos, que toma en cuenta su magnitud, está dada por el coeficiente de variación.

Los Cuartiles

  Son aquellos números que dividen a éstas en cuatro partes porcentualmente iguales. Hay tres cuartiles, Q1, Q2 y Q3. El primer cuartil Q1, es el valor en el cual o por debajo del cual queda aproximadamente un cuarto (25%) de todos los valores de la sucesión (ordenada); El segundo cuartil Q2 es el valor por debajo del cual queda el 50% de los datos (Mediana), el tercer cuartil Q3 es el valor por debajo del cual quedan las tres cuartas partes (75%) de los datos.

Los Deciles 

     Son ciertos números que dividen el conjunto de observaciones (ordenadas) en diez parte porcentualmente iguales. Los deciles se denotan por D1, D2, . . . , D9. El decil 5 corresponde al cuartil 2 (mediana).

Los Percentiles 

     Son ciertos números que dividen el conjunto de datos ordenados en cien partes porcentualmente iguales. El percentil 50 equivale a la mediana.

Ejemplo

204	228	252	300	324	444	624	720	816	912
1176	1296	1392	1488	1512	2520	2856	3192	3528	3710

A continuación se presentan 20 observaciones en orden del tiempo de falla, en horas, de un material aislante eléctrico:

    Para encontrar el percentil 10, , el valor de  es 0.10,  es un entero, el número de la posición es , el cual es el promedio de las observaciones segunda y tercera. Por tanto, el percentil 10 es, lo cual significa que el 10% de los tiempos de fallas del material eléctrico aislante es aproximadamente inferior a 240 horas.

       El percentil 88 se encuentra de manera similar. Puesto que ahora k=0.88, nk=20, que no es un entero, y el número de la posición es. Por tanto, el percentil 88 es la observación ordenada número 18, esto es =3192; es decir el 88% de los tiempos de fallas del material eléctrico aislante es aproximadamente inferior a 3192 horas.

conclusión 

     estos nos permiten identificar los valores más representativos de los datos, de acuerdo a la manera como se tienden a concentrar En estadística descriptiva, las medidas de posición no central permiten conocer otros puntos característicos de la distribución que no son los valores centrales. Entre las medidas de posición no central más importantes están los cuantiles.

Modulo 4

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medidas de tendencia central: moda, media y mediana

introducción

      Un promedio es un valor, que es típico o representativo de un conjunto de datos. Como tales valores tienden a situarse en el centro del conjunto de datos ordenados según su magnitud, los promedios se conocen también como medidas de centralización.

   Se pueden definir varios tipos de medidas de centralización, las más comunes son;la media aritmética o breve-mente media, la mediana, la moda, la media geométrica y la media armónica. Cada una de ellas tiene sus ventajas e inconvenientes, dependiendo la aplicación de una u otra, de los resultados que se pretendan obtener de los datos.

 Medidas de tendencia central o de centralización 

      Las medidas de tendencia central,dan una idea de un número alrededor del cual tienden a concentrarse todo un conjunto de datos. Las medidas de tendencia central mas comúnmente usadas son:  

La media Aritmética, la mediana y el modo; cada una de éstas medidas es representativa de una serie de datos en una forma particular. 

La media aritmética es la que frecuentemente se le denomina promedio, sin embargo, el término es utilizado también para las otras medidas de tendencia central. 

Cálculos de las medidas de tendencia central

La media aritmética ( X ) 

    Aún y cuando existen varias media, la media aritmética es la mas frecuentemente utilizada en Estadística. La media aritmética, es la suma de las puntuaciones o valores originales dividida entre el número de ellas. 

   EJEMPLO. Las calificaciones en una evaluación sobre 100 puntos fueron:60,55,70,70,85 y 80. Luego, X = 420 = 70. 

( La calificación media es 70 puntos.) 6 

Nota: Las puntuaciones extremas afectan o modifican la media, a saber: 

        En los grupos de valores 1,3,5,5,5,6 y 1,3,5,5,5,110 las medias son 4.2 en el primer grupo y 21.5 en el segundo. Estos dos grupos no tienen la misma media, por lo tanto,En un conjunto de valores donde existen valores muy extremos, no se debe calcular la media 

media aritmética simple y media aritmética ponderada

Media aritmética simple

     Es la medida de tendencia central más utilizada por lo general se ubica hacia el centro de distribución estadística.

ejemplo:

      Calcular la media aritmética de las siguientes calificaciones de Estadística tomadas de una muestra de 20, sin agrupar, agrupando en tablas de frecuencias y agrupando en intervalos.

4, 8, 10, 10, 5, 10, 9, 8, 6, 8, 10, 8, 5, 7, 4, 4, 8, 8, 6 y 6

Solución:

1) Sin agrupar

x=xin

x=4+8+10+10+5+10+9+8+6+8+10+8+5+7+4+4+8+8+6+620

x=14420=7,2

La media ponderada

     es una medida de tendencia central, que es apropiada cuando en un conjunto de datos cada uno de ellos tiene una importancia relativa (o peso) respecto de los demás datos. Se obtiene del cociente entre la suma de los productos de cada dato por su peso o ponderación y la suma de los pesos.

ejemplo

     Si la asignatura A tiene un valor de 2 créditos y la asignatura B tiene un valor de 3 créditos. Entonces, para un estudiante que haya obtenido una calificación de 4 en la asignatura A y de 5 en la asignatura B, la nota promedio ponderado está dada por

  

La mediana (Md) 

    Es el punto medio, arriba o debajo del cual caen el 50% de las puntuaciones o casos. Para calcular la mediana, se ordenan las puntuaciones en orden creciente o decreciente. En caso de ser el número de datos impar, la mediana es el valor central; en el caso de ser par, la mediana es el promedio de los valores centrales. 

Ejemplo. (a) 6,11,9,12,13,10,20,15,17. Al ordenarlos se obtiene: 

6,9,10,11,12,13,15,17,20. La mediana es 12. Md=12 

(b) 9,10,12,11,3,6,20,17,13,15. Al ordenarlos se obtiene: 

3,6,9,10,11,12,13,15,17,20. La mediana es el promedio entre 11 y 12, por haber dos valores centrales. Md= 11.5 

     Nota: Una característica de la mediana es su insensibilidad hacia los valores extremos. Así, en el conjunto de valores: 2,3,8,11,48 la Md= 8; esto es verdad aún y cuando hay un valor extremo de 48. Si cambiamos éste valor por 98 la mediana seguiría siendo la misma.

      Esta característica de la mediana la hace muy útil para la descripción de la tendencia central en ciertos tipos de distribuciones en las cuales la media es una medida inaceptable de tendencia central, debido a su sensibilidad hacia las calificaciones extremas. 

La Moda (Mo). 

Es el valor que aparece con mas frecuencia en una serie de datos. 

    EJEMPLO. 1,1,2,2,2,3,3,3,3,4,5,6,8. La cifra 3 aparece cuatro veces lo cual es mas frecuente que otro valor; por lo cual el valor modal o modo es 3. ( Mo=3) 

1,1,2,2,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,6,7,8. 

Las cifras 2 y 4 aparecen cuatro veces. 

Luego Mo= 2,(Bimodal) 

Cuando aparecen tres o mas veces se denomina Multimodal. 

Media armónica

       La media armónica, denominada H, de una cantidad finita de números es igual al recíproco, o inverso, de la media aritmética de los recíprocos de dichos valores y es recomendada para promediar velocidades.

Por ejemplo, la media armónica de los números: 34, 27, 45, 55, 22, y 34 es:

Media cuadrática 

      cuadrática es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los valores dividida entre el número de datos: Esta media como medida de asociación tiene aplicaciones tanto en ciencias biológicas como en medicina.

Media geométrica

    La media geométrica (MG), de un conjunto de  números positivos se define como la  n- del producto de los  números.

ejemplo

      Supongase que las utilidades obtenidas por una compañía constructora en cuatro proyectos fueron de 3, 2, 4 y 6%, respectivamente. ¿ Cuál es la media geométrica de las ganancias?.En este ejemplo  y asi la media geométrica es determinada por 

y así la media geométrica de las utilidades es el 3.46%.

conclusión

         En conclusión las Medidas de tendencia central, nos permiten identificar los valores más representativos de los datos, de acuerdo a la manera como se tienden a centrar. La Media nos indica el promedio de los datos; es decir, nos informa el valor que obtendría cada uno de los individuos si se distribuyeran los valores en partes iguales. La Mediana por el contrario nos informa el valor que separa los datos en dos partes iguales, cada una de las cuales cuenta con el 50 % de los datos. Por último la Moda nos indica el valor que más se repite dentro de los datos.

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conceptos básicos de estadística

introducción

     La estadística es una colección de métodos para planificar y realizar  experimentos, obtener datos y luego analizar, interpretar, y formular una conclusión basada en esos datos. Esta es de vital importancia porque nos permite encontrar las respuesta a problemas planteado sobre una población o una hipótesis ,de esta forma se pueden dar los resultados e interpretar dichos datos.

 POBLACIÓN Y MUESTRA   

        Población: En el ámbito estadístico , se denomina población al conjunto de todos los individuos que se desea estudiar. Estos pueden ser : personas, animales, artículos etc. 

         Muestra:  Es una parte de la población que se selecciona para realizar el estudio. Una muestra debe ser representativa, es decir, deba reflejar las características esenciales de la población que se desea estudiar.

variable

        Se pueden definir como todo aquello que se va a medir, controlar y estudiar en una investigación o estudio.

tipos de variable

Variable cualitativa

    Las variables cualitativas se refieren a características o cualidades que no pueden ser medidas con números. Podemos distinguir dos tipos:

Variable cualitativa nominal

   Una variable cualitativa nominal presenta modalidades no numéricas que no admiten un criterio de orden. Por ejemplo:
El estado civil, con las siguientes modalidades: soltero, casado, separado, divorciado y viudo.

Variable cualitativa ordinal o variable cuasicuantitativa

    Una variable cualitativa ordinal presenta modalidades no numéricas, en las que existe un orden. Por ejemplo:
    La nota en un examen: suspenso, aprobado, notable, sobresaliente.
Puesto conseguido en una prueba deportiva: 1º, 2º, 3º, ...
Medallas de una prueba deportiva: oro, plata, bronce.

Variable cuantitativa

    Una variable cuantitativa es la que se expresa mediante un número, por tanto se pueden realizar operaciones aritméticas con ella. Podemos distinguir dos tipos:

Variable discreta

    Una variable discreta es aquella que toma valores aislados, es decir no admite valores intermedios entre dos valores específicos. Por ejemplo:
El número de hermanos de 5 amigos: 2, 1, 0, 1, 3.

Variable continua

   Una variable continua es aquella que puede tomar valores comprendidos entre dos números. Por ejemplo:
La altura de los 5 amigos: 1.73, 1.82, 1.77, 1.69, 1.75.
    En la práctica medimos la altura con dos decimales, pero también se podría dar con tres decimales

ejemplo:

     Una empresa que está llevando a cabo un estudio a todos los 350 empleados de la empresa. Esto es población ya que se estudiará cada elemento de la población; en este caso la población es todos los empleados de la empresa,sus 350 empleados. Muestra es una parte de la población seleccionada de forma que puedan hacerse inferencias de ella con respecto a la población completa. Por ejemplo, la empresa del ejemplo anterior escogerá 100 empleados de los 350 para hacerles un estudio. Esto es una muestra ya que el total de empleados es 350, se escogió a 100 para hacerse inferencias del resto. 

conclusión

      Se puede decir que la estadística desde los comienzos ha sido de gran ayuda ya  que se utiliza en representaciones gráficas para contar el número de personas, animales o ciertas cosas. La estadística es la ciencia que trata de la recolección, clasificación y presentación de los hechos sujetos a una apreciación numérica como base a la explicación, descripción y comparación de los fenómenos.